Il fonde en 1959 les Bozos dont les membres seront Hervé Brousseau, Jean-Pierre Ferland, Raymond Levesque Clémence Desrochers et André Gagnon. Chez Bozos, leur petite boîte à chansons de la rue Crescent à Montréal devient rapidement le rendez-vous des artistes locaux et des vedettes européennes de passage au Québec. En juin 1959, Claude Léveillée y fait la rencontre d'Édith Piaf qui, immédiatement séduite par son talent, l'amène en France. Pendant les dix mois qui suivent, il compose pour elle Boulevard du Crime, Ouragan, Le vieux piano, et la comédie ballet La voix que Piaf, minée par la maladie, n'aura jamais le temps de créer. Le ballet sera finalement monté et endisqué en 1965.
De retour au Québec en 1961, Claude devient directeur artistique de la boîte à chansons Le Chat noir. Il y rencontre Gilles Vigneault et mettra en musique tout au long des années 60 une trentaine de textes. Il enregistre son premier album et le lance en janvier 1962 ; cet album remporte le Grand Prix du disque canadien de la radio CKAC. En avril 1964, il devient le premier artiste populaire québécois à se produire en vedette à la Place-des-Arts de Montréal. Cette années-là, il fonde avec d'autres comédiens le Théâtre de Quat’sous. En 1966, Claude Léveillée est invité au Ed Sullivan Show. Il reçoit ensuite le prix La Bolduc attribué au meilleur auteur-compositeur-interprète au Festival du disque et un trophée au Gala des artistes. En 1968, il donne 27 spectacles en U.R.S.S. L'année suivante, il fait la Place-des-Arts avec l'Orchestre symphonique de Montréal. Reprise par André Gagnon, sa chanson Pour les amants atteint les premières places du palmarès américain…
Claude Léveillé, est décédé jeudi 9 juin 2011 à l'âge de 78 ans.